Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

 Propriété

Soit  `(v_n)`  une suite géométrique de premier terme  `v_0`  et de raison  `q`  différent de `1` .
Pour tout entier naturel  `n` , on a :  \(\boxed{v_0+v_1+...+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

Démonstration

Soit  `(v_n)`  une suite géométrique de premier terme  `v_0`  et de raison  `q`  différent de `1` .
Pour tout entier naturel  `n` , notons  `S_n=v_0+v_1+...+v_n` . 

`S_n=\color{green}{v_0}+\color{red}{v_1}+\color{purple}{v_2}+...+\color{blue}{v_n}=\color{green}{v_0}+\color{red}{(v_0\timesq)}+\color{purple}{(v_0\timesq^2)}+...+\color{blue}{(v_0\timesq^n)}` \(S_n=v_0\left(\color{green}{1}+\color{red}{q}+\color{purple}{q^2}+...+\color{blue}{q^n}\right)=v_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) . 

Remarque
On peut également calculer la somme des termes d'une suite géométrique en commençant à  `v_p` , où  `p`  est un entier naturel inférieur ou égal à  `n` . 
On a alors :  \(v_p+v_{p+1}+...+v_n=v_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}\) . 
On pourra retenir que la somme des termes d'une suite géométrique s'obtient en calculant :  `\text{premier terme}\times\frac{1-(\text{raison})^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{(raison)}}` .